函数的图像

教学设计

一、教学内容及其解析

    1.地位和作用

   本节课选自北师大版《普通高中课程标准实验教科书——数学必修四》第一章第8节：函数的图像（第一课时）．三角函数是中学数学的重要内容之一，是描述周期变化现象的重要数学模型．它既是解决实际问题的工具，又是学习高等数学及其他学科的基础．

本节课是三角函数的一个重要内容，通过揭示参数变化对函数图像的影响，有助于进一步深化学生对函数图象变换的理解和认识，是发展学生数学学科核心素养，提升学生的抽象思维、创新意识的重要载体．

    2.教学内容剖析

   本节课通过探究对函数图像的影响，了解参数的变化对函数图像的影响．通过五点作图法和几何画板软件作图，直观分析函数图像之间的关系．图像是由点构成的，图像变换的本质是图像上点的位置变化，而点的位置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究参数对函数图像的影响，需研究图象上每个点坐标的变化规律，建立数与行的联系．让学生自主探究，经历从特殊到一般的研究过程，理解类比归纳、数形结合的数学思想．

本节课的重点是：将参数对函数图像影响的问题分别进行探究，并将其综合运用.

本节课的难点是：参数对函数图像的影响，以及参数同时对函数图像的作用.

二、教学目标                

根据《数学课程标准》，确定本节课的学习目标为：

1.通过小组合作，借助五点作图法和几何画板软件画出相应的函数图像，探究归纳参数对函图像的影响；

2.运用数形结合、类比归纳数学思想方法，经历由特殊到一般的探究过程，培养数学抽象与直观想象素养.

三、学生学情分析

1. 学生具有的基础

在学习本节内容之前，学生已经学习了二次函数图像的平移变换，以及三角函数的图像和性质，具备了学习本节课的所需的知识．通过学习三角函数的图像与性质，经历了探索、发现、猜想、验证等活动过程，获得了探索图像性质的经验，有一定的几何直观能力、推理论证能力．

2.   即将面临的问题

（1）探究参数对函数图像的影响时，从点的坐标的变化来分析图像的变换，不同学生对数形结合的感悟程度不一样；

（2）学生能否将已学习的二次函数图像变换，应用于本节课三角函数的探究学习；

（3）参数变化时，函数图像进行横向伸缩变换，学生之前很少接触图像的横向伸缩变换，不容易总结其变化规律，并且容易忽视这两种情况．

3.   难点突破技巧

（1）以弹簧振子的简谐运动引入，建立三角函数模型，激发学生的学习兴趣；

（2）通过几何画板软件展示图像，动态直观感受图像的变换，引导学生借助已学知识探究问题；

（3）在教学中引导学生运用五点作图法和几何画板软件作图分析思考，有利于提升学生对函数图像变换的理解；

（4）在探究参数对函数图像的影响时，重点引导学生去分析点坐标的变换，并且通过对三个参数逐一探究，让学生类比探究方法，总结由特殊到一般的探究方法．

4、教学策略分析

《课程标准》明确指出：数学学科核心素养在学生与情境、问题的有效互动中得到提升．在教学活动中，应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的情境和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想方法解决问题．通过创设情境，发现问题，引导学生在自主探究中理解三角函数模型．以小组合作的探究方式，对三角函数图象的变换进行数学实验，让学生类比归纳总结三角函数图像变化的规律．信息技术是学生学习和教师教学的重要辅助手段，在探究活动中，教师通过使用几何画板软件绘图，其操作简单，学生容易掌握，可以更加直观看到三角函数图像的变换，便于加深学生对三角函数图像的理解．

教学中，不急于把结论抛给学生，而是结合3个具体的例子，学生通过课前预习，运用五点作图法作出图像，让学生经历从特殊到一般的探究过程，逐步概括图像变换的规律．通过自主探究活动，提出问题、分析和解决问题的经验，养成独立思考与合作交流的习惯．

5、教学过程设计

（一）创设情境，引入主题

引入：数学是自然科学的重要基础，在社会科学中发挥着越来越大的作用．借助弹簧振子的简谐运动，创设情境，引出刻画自然界周期变化现象的重要函数模型．

【学习评价】通过具体例子引入主题，关注学生对生活中三角函数模型的了解程度．

【设计意图】从生活情境出发，采用弹簧振子的简谐运动引出函数模型，激发学生学习兴趣．引导学生思考函数与函数的一般与特殊的关系，进而引导学生探讨函数与函数的图像的关系．

（2）问题提出

师生活动：用几何画板展示函数的图像，让参数动起来，观察其图像的变换．

【设计意图】

利用几何画板软件作图展示分析，学生开展问题驱动式的探究学习，提高学生探究学习的积极性.

（3）学习目标

【设计意图】

通过展示学习目标，教师对学习目标的借读，使学生明确学习任务，便于展开探究学习.

（4）合作探究

师生活动：设计3个探究活动进行学生展示，分别探究3个参数的作用．用五点作图法和几何画板软件绘图，根据图像探究参数分别对函数图像的影响，由学生通过五点作图法展示3个例题，分享参数为具体实数时对图像的影响，然后教师运用几何画板引导学生分析,任意参数

对函数图像的影响，从而总结得出结论．最后设置了变式训练，将参数融合在一起，通过小组合作，总结图像变换规律,能力得到提升.

【设计意图】

按照的顺序对3个参数展开探究活动，从最直观的振幅变换开始，先探究参数，再探究参数，然后探究参数，最后设置变式训练，将参数融合在一起，探究图像变换规律，问题从易到难，符合学生的认知水平；

教学中采用了五点作图法和几何画板作图，传统作图方法与现代信息技术相结合，帮助学生更直观地发现图像变换的规律；

开展问题驱动式的探究学习，提高学生探究学习的积极性．小组合作探究问题，让学生充分体验知识生成的过程，积累发现和提出问题、分析和解决问题的经验，养成独立思考与合作交流的习惯．

探究活动一：探究对图像的影响：

例1：用五点作图法画出函数，的简图，并分析它们的图象与图象的关系．

预设：学生在分享预习成果时语言可能不太规范，内容不够全面，图像不够标准．

解决预案：鼓励学生用自己的语言去总结发现的规律，根据学生展示学案时出现的问题进行提问并补充．

五点作图法画出函数，的简图：

列表：

作图：

在几何画板中作出的图像与的图像并比较，引导学生观察图像，总结函数图像上点的坐标的变化规律，数形结合，得出结论：

函数的图像，可以看作是把的图像上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍（横坐标不变）而得到的．

在函数中，决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称为振幅．

【学习评价】观察学生是否能应用五点作图法作图；是否能从列表和图象中发现参数对图像的影响；是否能准确表达参数对图像的影响；是否能发现图象上的点坐标的变化规律．

【设计意图】1．通过五点作图法和几何画板作图动态演示，较为直观地呈现参数对图像的影响，加深对函数图象振幅变换的理解；2．贯彻由特殊到一般、先猜想后验证的思想；3．引导学生归纳总结，为后面的探究积累经验，提供示范．

快速问答1：

1. 为了得到将函数的图像，只需将的图像上每一个点的___坐标不变，___坐标__________.
2.                                                                                                                                                                                   将函数

的图像上的每一个点的___坐标不变，___坐标____________可得到函数的图像.

【学习评价】关注学生是否能将总结的规律进行应用．

【设计意图】1．巩固学生对参数的理解；2．培养学生逆向思维能力和解决问题的能力．

探究活动二：探究对图像的影响：

例2：用五点作图法画出函数，的简图，并分析它们的图象与图象的关系．

预设：学生在分享探究成果时语言可能不太规范，内容不够全面．

解决预案：鼓励学生用自己的语言去总结发现的规律，根据学生分享成果时出现的问题进行提问并补充．

五点作图法画出函数和的简图：

列表：

作图：

引导学生回顾初中所学二次函数图像平移的变换规律，总结函数图像上点的坐标的变化规律，数形结合，得出结论：

函数（其中）的图像，可以看作是把图像上的所有点向左（）或向右（）平行移动个单位长度而得到的．

在函数中，通常称为相位，时的相位为初相．

【学习评价】观察学生是否能应用五点作图法作图；是否能从列表和图像中发现参数对图像的影响；是否能发现图像上的点坐标的变化规律；是否能准确表达参数对图像的影响．

【设计意图】1．通过五点作图法，较为直观地呈现参数对图象的影响，加深对函数图象平移变换的理解；2．引导学生理解平移变换只是初中知识方法上的迁移；3．引导学生归纳总结，为后面的探究积累经验，提供示范．

快速问答2：

1. 为了得到函数的图像，只需将的图像向___平移______个单位，.
2. 将函数的图像向___平移______个单位，可得到函数的图像.

【学习评价】关注学生是否能将总结的规律进行应用．

【设计意图】1．巩固学生对参数的理解；2．培养学生逆向思维能力，并为后面的探究活动奠定基础．

探究活动三：探究对图像的影响：

例3：用五点作图法画出函数，的简图，并分析它们的图像与图像的关系．

预设：学生能类比参数的探究，完善对参数的探究过程，但仍会存在用词不准确、总结不全面的现象；参数变化时，函数图象进行横向伸缩变换，学生之前很少接触图象的横向伸缩变换，不容易总结其变化规律，并且容易忽视这两种情况．

解决预案：在运用几何画板展示动态图时，引导学生发现图像上点的坐标的变换情况，根据学生具体出现的问题进行分析指导；在学生更高效准确的发现规律时，给予肯定和鼓励．

五点作图法画出函数，的简图：

列表：

作图：

在几何画板中作出的图象与的图像并比较，引导学生观察图像，总结函数图像上点的坐标的变化规律，数形结合，得出结论：

函数的图像，可以看作是把的图像上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的．

在函数中，决定了函数的周期，通常称周期的倒数为频率．

【学习评价】观察学生是否能应用五点作图法作图；是否能从列表和图像中发现参数对图像的影响；是否能利用几何画板发现图像上的点坐标的变化规律；是否能准确表达参数对图像的影响．

【设计意图】1．通过五点作图法和几何画板作图动态演示，较为直观地呈现参数对图像的影响，学生能够类比对参数的探究过程，得到其变化规律；2．贯彻由特殊到一般、先猜想后验证的思想；3．引导学生归纳总结，为后面的探究积累经验，提供示范．

快速抢答3：

1. 为了得到的图像，只需将图像上每一个点的___       坐标不变，   坐标             .

2.将函数的图像上每一个点的     坐标不变，   坐标             可得到函数到函数的图像.

【学习评价】关注学生是否能将总结的规律进行应用．

【设计意图】1．巩固学生对参数的理解；2．培养学生逆向思维能力，并为后面的探究活动奠定基础．

变式训练：合作探究，小组讨论

例4：如何将函数的图像得到的图像？

预设：学生通过小组合作讨论，将会采用2种不同方法进行变换，即先伸缩变换再平移变换，和先平移变换再伸缩变换，从而达到一题多解，注意观察学生的探究过程以及总结结论的用词规范．

解决预案：在学生探究过程中，指导学生画出相应图像，作出相应的辅助线，分析图像上的点的坐标变化；鼓励学生寻求一题多解和大胆质疑的探索精神，根据学生出现的具体问题进行提问并补充．

【学习评价】观察学生的探究活动，关注学生小组合作；是否能用五点作图法；是否能根据前3个探究内容，准确叙述出例4的图像变换；能否达到语言的规范性．

【设计意图】通过小组探究活动，发现三个参数与函数图象的关系，学生经历独立思考、小组讨论、总结汇报，强化学生的学习体验和迁移能力，提升学生的合作意识和沟通能力．

（5）巩固练习，学以致用：

1.将函数的图像上各点向右平行移动个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图像的函数解析式是（  ）.

2.有以下4种变换方式：

①向左平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的倍；

②向右平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的倍；

③每个点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平行移动个单位长度；

④每个点的横坐标缩短为原来的倍，再向左平行移动个单位长度；

其中能将函数的图像变为函数的图像的是（    ）.

3.请叙述函数的图像如何由图像得到？

【学习评价】观察学生是否能掌握函数图像及其变换规律．

【设计意图】及时巩固是学习和发展的需要，只有及时巩固，才能迁移应用．这样更能突出重点、突破难点，使学生分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高．

（6）总结升华，提高素养

1.通过这节课你学习到哪些新的知识内容？

2.在探究参数对函数图象影响的小组活动中，你运用了哪些数学思想方法？

【学习评价】关注学生的分享内容，把握学生对所学知识的掌握程度；是否能在知识回顾中体会数学思想方法．

【设计意图】通过小结对本节课的教学内容进行梳理和概括，有利于培养学生的语言表达能力，在知识、技能、思想上获得提升，掌握知识的同时掌握研究问题的方法，体会其中蕴含的数学思想．

（7）布置作业

1．课本习题1-8 A组第1题，第2题，第3题．

2. 拓展题：请同学们阅读教材61页数学与音乐，并到阅览室或利用互联网查找相关知识.

【设计意图】巩固所学，拓展提升，加深理解．

八、板书设计